Le théorème de point fixe de Volterra appliqué au problème de Cauchy

Abstract

On applique dans ce rapport le th´eor`eme de point fixe de volterra au probl`eme de Cauchy d´efinie par une ´equation diff´erentielle d’ordre 1, ´etant donn´ees une condition initiale y(t0) = y0 et une ´equation d´efinie par : y′(t) = f (t, y(t)) ,existe-il une solution ? et est-elle unique ? Les r´eponses `a ces questions ,on reparti ce travail en quatre chapitres : Dans le premier chapitre,on commence par donner des d´efinitions ,ainsi que quelques r´esultats connus qui nous seront utiles dans la suite du m´emoire. Dans le deuxi`eme chapitre,on commence par poser le probl`eme de Cauchy et on ´etude l’existence et l’unicit´e de ce probl`eme. Dans le troisi`eme chapitre,nous ´etudions quelques th´eor`emes du point fixe (th´eor`eme g´en´erale ,th´eor`eme de Picard et th´eor`eme de Volterra ). Dans le quatri`eme chapitre,on applique le th´eor`eme de Volterra au probl`eme de Cauchy ´etant donn´es un ensemble E et une application f : E → E on s’int´eresse `a donner des conditions sur f.في هذا التقرير قمنا بتطبيق نظرية النقطة الثابتة لفولتيرا على مسألة كوشي. يتم تحديدها بواسطة معادلة تفاضلية من الرتبة 1، مع مراعاة الشرط الأولي y(t0) = y0 والمعادلة المعرفة بواسطة: y′(t) = f (t, y(t)) هل هناك حل؟ وهل هي فريدة من نوعها؟ وتنقسم الإجابة على هذه الأسئلة إلى أربعة فصول: نبدأ في الفصل الأول بذكر التعريفات، بالإضافة إلى بعض التعريفات نتائج معروفة والتي ستكون مفيدة لنا في بقية الرسالة. وفي الفصل الثاني نبدأ بطرح مشكلة كوشي وندرسها وجود وتفرد هذه المشكلة. وفي الفصل الثالث قمنا بدراسة بعض نظريات النقطة الثابتة (نظرية عام، نظرية بيكارد ونظرية فولتيرا). وفي الفصل الرابع، نطبق نظرية فولتيرا على مسألة كوشي بالنظر إلى المجموعة E والخريطة f: E → E، فنحن مهتمون بإعطاء الشروط على و